目录
- 1研究历史
- 2三角函数
- 3正弦函数
- ▪平方和关系
- ▪积的关系
- ▪倒数关系
- ▪商的关系
- ▪和角公式
- ▪倍角半角公式
- 4正弦定理
- 5正弦定理
- 6单位圆
- 7级数
- 8微分方程
- 9正弦积分
- 10恒等变换
- 11数学术语
- 12拉普拉斯变换
>研究历史
古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是
直角三角形中的斜边，“勾”、“股”是直角三角形的两条直角边。
图1
正弦是股与弦的比例，
余弦是余下的那条直角边与弦的比例。
正弦=股长/弦长
勾股弦放到圆里。弦是
圆周上两点连线。最大的弦是直径。 把
直角三角形的弦放在直径上，股就是∠A所对的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。
按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。
sin = 直角三角形的对边比斜边.
如图1，斜边为r，对边为y，邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r
无论a，y，r为何值，正弦值恒大于等于0小于等于1，即0≤sin≤1.
>三角函数
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的
反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，
三角函数也是常用的工具。
在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的
对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做角A 的正切，记作tanA
即tanA=角A 的对边/角A的邻边
同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与
斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的正弦，记作sinA
即sinA=角A的对边/角A的斜边
同样，在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的
余弦，记作cosA
即cosA=角A的邻边/角A的斜边
>正弦函数
一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
相关公式
>平方和关系
（sinα）^2 +（cosα）^2=1
>积的关系
sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ）
cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα）
tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)
>倒数关系
tanα × cotα = 1
sinα × cscα = 1
cosα × secα = 1
>商的关系
sinα / cosα = tanα = secα / cscα
>和角公式
sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ
sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ
cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα
tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ )
>倍角半角公式
sin ( 2α ) = 2sinα · cosα
sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )
sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2)
sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i )
级数展开
sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )
（ sinx ） ' = cosx
（ cosx ) ' = ﹣ sinx
>正弦定理
特定正弦函数与椭圆的关系
关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：
半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到
f(c)=r tanα sin(c/r)
r:圆柱半径
α:椭圆所在面与水平面的角度
c:对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）
以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。
>正弦定理
正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。
早在公元2世纪，正弦定理已为古希腊天文学家托勒密(C．Ptolemy)所知．中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al—Birunj，973一1048)也知道该定理。但是，最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁。在欧洲，犹太数学家热尔松在其《正弦、弦与弧》中陈述了该定理：“在一切三角形中，一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比”，但他没有给出清晰的证明。15世纪，德国数学家雷格蒙塔努斯在《
论各种三角形》中给出了正弦定理，但简化了纳绥尔丁的证明。1571年，法国数学家韦达(F．Viete，1540一1603)在其《数学法则》中用新的方法证明了正弦定理，之后，德国数学家毕蒂克斯(B．Pitiscus，1561—1613)在其《三角学》中沿用韦达的方法来证明正弦定理
。
>单位圆
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 y 坐标等于 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sin θ = y/1 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于 2π 或小于 −2π 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的
周期函数:
>级数
正弦函数（绿色）被对中心为原点的全圆的它的 11 次泰勒级数（红色）紧密逼近。
>微分方程
由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足微分方程
这就是正弦的微分方程定义。
>正弦积分
>恒等变换
用其他三角函数的表示
两角和的正弦
二倍角公式
三倍角公式
半角公式
万能公式
>数学术语
>拉普拉斯变换
