目录
- 1起源
- 2收敛性证明
- 3另外形式
- ▪证法1
- ▪证法2
- 4计算方法
- 5应用
- ▪e对于自然数的特殊意义
- ▪素数定理
- ▪完全率
- ▪双曲函数
>起源
它的其中一个定义是
，其数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。
在1690年，
莱布尼茨在信中第一次提到常数e。在论文中第一次提到
常数e，是约翰·纳皮尔（John Napier）于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由
威廉·奥特雷德（William Oughtred）制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）。欧拉也听说了这一常数，所以在27岁时，用发表论文的方式将e“保送”到
微积分。
已知的第一次用到常数e，是
莱布尼茨于1690年和1691年给
惠更斯的通信，以b表示。1727年
欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《
力学》（Mechanica）。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的原因不明，但可能因为e是“
指数”（exponential）一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，e则是第一个可用字母。还有一种可能是，字母“e”是指欧拉的名字“Euler”的首字母。
其实，超越数主要只有自然常数（e）和
圆周率（π）。自然常数的知名度比
圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。
融合e，π的
欧拉公式，也是超越数e的数学价值的最高体现。
自然常数一般为公式中
乘方的
底数和
对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。
法语中的
序数词，数字与“E”组成，例如：Première，21e为Vingt-première。
自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是当
时函数
值的
极限。
因为e=2.7182818284...，极为接近
循环小数2.71828（1828循环），那就把循环小数化为
分数271801/99990，所以可以用271801/99990表示为e最接近的
有理数约率，
精确度高达99.9999999（7个9）% 。
>收敛性证明
即序列
单调上升；另一方面，我们尝试证明
。即要证
，由均值不等式得
一方面，我们尝试证明（1+1÷n）的n次方＜3
由于n÷(n+1）＞（n－1）÷n＞[1＋1＋……＋1（n－6个1）＋六个三分之一的六分之一次方]÷n＞三分之一的n分之一次方（平均值不等式）
所以n÷(n+1）的n次方＞三分之一
两边分别取倒数得（1+1÷n）的n次方＜3
>另外形式
>证法1
即
即
证毕.
注：由该证法可以看出，对任意正数序列
，若存在一个收敛数列
，使得
>证法2
另一方面，又有
则有
故有
证毕.
>计算方法
已知
函数存在任意阶的导数。将其在点
处进行
泰勒展开，有
故有
即得
限制精度
但是在应用中我们需要的是
的具有某位精度的数值，比如说要求
的小数点前2000位的准确数值。此时Peano余项不够用了。我们换一个余项，例如——
Lagrange余项：
所以
故只
要令，求解出满足这个不等式的任意一个n，然后按照这个n计算
>应用
自然常数e在科学上有广泛应用。以下举几例：
>e对于自然数的特殊意义
所有大于2的2n形式的偶数存在以e为中心的
共轭奇数组，每一组的和均为2n，而且至少存在一组是共轭素数。
>素数定理
自然常数也和
质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫
素数定理，由
高斯发现。
>完全率
设
完全图内的路径总数为W，
哈密顿路总数为h，则W/h=e，此规律更证明了e并非故意构造的，e甚至也可以称呼为是一个
完全率。与
圆周率有一定的相类似性，好像极限完全图就是
图论中的圆形，哈密顿路就是
直径似的，自然常数的含义是极限完全图里的路径总数和哈密顿路总数之比。
>双曲函数
双曲函数是自然常数价值的重要体现。它可以解决很多问题。如：
在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，
重力加速度为g，所受
空气阻力假定与v2正比，
阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块
运动速度与时间的关系。
解：
mdv/dt=mg―μv2
（1）
依标准变换方式，设
v=（m/μ）/（z′/z） （2）
代入（1）式，再作化简，有
z'' ―（gμ /m）z=0 （3）
z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t）（4）
其中，C1和C2是任意常数。
由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为
v（0）=0 （5）
这等价于
z′（0）=0 （6）
因此，容易定出
C2=C1 （7）
将（7）式代入（4）式，再将（4）式代入（2）式，就可得
v=√mg/μ tanh（√μg/m t）（8）
我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的
自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，
重力相对于
阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。
x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （1）
式中p0是粒子出发时
动量的值，W0是它出发时的
能量。
解：
dp/dt=q（E+v×B） （2）
p=mv=mv0/√1－v2/c2 （3）
本题运动方程的分量表示式为
dpx=qE
dpy=0
dpz=0 （4）
解之，有
px =qEt+C1
py = C2
pz = C3 （5）
px（0）=0
py（0）= p0
pz（0）= 0 （6）
px=qEt
py= p0
pz= 0 （7）
W=mc2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4
=√q2E2 c2t2+W02 （8）
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （9）
积分得
x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt
= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （10）
又由（7）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （11）
积分得
y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt
=（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （12）
或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （13）
在（51）式和（54）式中消去t，有
x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （14）
cosh2x―sinh2x=1 （15）
（55）式可以写成
x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （16）
讨论：
cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （17）
当v/c →0时，保留前2项，得
x=（qE/2m v02）y2 （18）
（18）式是
抛物线轨迹。《
普通物理学》教材用经典
牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的
极限。或者说，（18）式成立的条件是v/c<<1，这也是牛顿力学的适用范围。
