内心详细释义
[注意到内心到三边距离相等（为
内切圆半径），内心
定理其实极易证。]
若三边分别为l
1，l
2，l
3，
周长为p，则内心的
坐标为(l
1/p,l
2/p,l
3/p)。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在
实轴的
射影为对应支的顶点。
内心性质
设△ABC的
内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形内心为I
1、三角形的三个
角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。
（i）IX:IY:IZ=1:1:1
（ii）BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b
（iii）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)
（iv）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))
（v）△IBC,△ICA,△IAB面积比为a:b:c
3、r=S/p。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的
充要条件是：
a(
向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：
[ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)]。
9、(
欧拉定理)△ABC中，R和r分别为
外接圆为和
内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI=R-2Rr。
10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的
角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R
1是△ABD的外接圆半径，R
2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC
b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，
∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.
又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，
∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
内心证明
在△ABC中
∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等
∴ 内心距三边距离均相等
即在三条角平分线的交点处。
三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。
