目录
- 1实值连续函数
- ▪定义
- ▪例子
- ▪连续函数的性质
- 2度量空间之间的连续函数
- 3拓扑空间之间的连续函数
- 4相关条目
>实值连续函数
最基本也是最常见的连续函数是
定义域为
实数集的某个子集、取值也是
实数的连续函数。例如前面提到的花的高度，就是属于这一类型。这类函数的连续性可以用
直角坐标系中的
图像来表示。一个这样的函数是连续的，如果粗略地说，它的图像为一个单一的不破的曲线，并且没有
间断、
跳跃或
无限逼近的振荡。
严格来说，设
是一个从实数集的子集
射到
的函数：
。
在
中的某个点
处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
2.
是
中的一个
聚点，并且无论自变量
在
中以什么方式接近
，
的
极限都存在且等于
。
我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的称为连续，如果它在其定义域中的任意一点处都连续。更一般地，当一个函数在定义域中的某个子集的每一点处都连续时，就说这个函数在这个子集上是连续的。
>定义
不用极限的概念，也可以用下面所谓的
方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数
。假设
是
的定义域中的元素。函数
被称为是在
点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数
，存在一个正实数
使得对于任意定义域中的
，只要
满足
，就有
成立。
更直观地，函数
是连续的当且仅当任意取一个
中的点
的邻域
，都可以在其定义域
中选取点
的足够小的邻域，使得
的邻域在函数
上的映射下都会落在
的邻域
之内。
以上是针对单变量函数（定义域在
上的函数）的定义，这个定义在推广到多变量函数时也是成立的。
度量空间以及
拓扑空间之间的连续函数定义见下一节。
>例子
>连续函数的性质
如果两个函数f和g是连续的，
为一个实数，那么
、
和
都是连续的。所有连续函数的集合构成一个环，也构成一个
向量空间（实际上构成一个
代数）。如果对于定义域内的所有
，都有
，那么
也是连续的。两个连续函数的复合函数
也是连续函数。
如果实函数f在闭区间内连续，且
是某个
和
之间的数，那么存在某个
内的
，使得
，这个定理称为
介值定理。例如，如果一个小孩在五岁到十岁之间身高从1米增长到了1.5米，那么期间一定有某一个时刻的身高正好是1.3米。
如果f在
内连续，且
和
一正一负，则中间一定有某一个点
，使得
。这是介值定理的一个推论。
如果f在闭区间
内连续，则它一定取得最大值，也就是说，总存在
，使得对于所有的
，有
。同样地，函数也一定有最小值。这个定理称为
极值定理。（注意如果函数是定义在开区间
内，则它不一定有最大值和最小值，例如定义在开区间(0,1)内的函数
。）
如果一个函数在定义域中的某个点
可微，则它一定在点
连续。反过来不成立；连续的函数不一定可微。例如，
绝对值函数在点
连续，但不可微。
>度量空间之间的连续函数
在
是连续的，则对任何实数
，存在一个实数
使得
，只要满足
，就满足
。
如果函数
在点
连续，则对
中任何序列
，只要
，就有
。连续函数将极限变成极限。
后一个条件可以减弱为：
在
点连续，当且仅当对
中任何序列
，只要
，就满足序列
是一个
柯西序列。连续函数将收敛序列变成柯西序列。
>拓扑空间之间的连续函数
如上连续函数的定义可以自然地推广到一个
拓扑空间到另一拓扑空间的函数：函数
，这里
与
是拓扑空间是连续的当且仅当任何开集
的逆像
是
中的开集。
>相关条目
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。常用的连续性的最根本定义是在拓扑学中的定义，在条目连续函数 (拓扑学)中会有详细论述。在序理论特别是域理论中，有从这个基础概念中得出的另一种抽象的连续性：斯科特连续性。
